1543.-Drei Lehrsätze auf dem Wasser und seinem Fehler der Form

Teor 1: Setzen wir ein sechseckiges Netz Imagenemos ein Fluss, und in einem Teil des Wasserstroms, zwischen zwei Küsten. Wir wählen Hexagone aufs Geratewohl, und stellen in ihnen eine Säule des Zements (wenn zwei benachbart sind, sie sich hermetisch zusammenschließen).

Nur gibt es zwei mögliche Ergebnisse: Oder es ist ein Wasserlauf offen geblieben, oder die Säulen formen einen Damm. Definitiv endet jedes Spiel von Hex mit dem Sieg von einem der Spieler.

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Teor 2. In einem ebenen Boden stellen wir Säulen einige neben andere, hermetisch vereinigte die Säule i mit der i-1 und i+1 (und nur mit ihnen), solch, die sich die erste und die letzte auch prügeln. Es bleiben zwei getrennte Regionen, eine Abgegrenzte, die wir mit Wasser füllen können, ohne dass er zur anderen übergeht.

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Teor 3: In einem quadratisch Teich schwenken wir das Wasser (weich) und wenigstens wird sich ein Punkt nicht bewegen (oder das Wasser geöffnet wird).

Warnung: Die nächsten Paragrafen enthalten die Vorführung. Er kann in einer Erster, Zweiter, Dritter... Lesen ausgelassen sein. Der Simbolito  bezieht sich vor manchen Nummern 2 auf 'Wurzel'. Der Html ist math-friendly nicht.

Sehen wir: Wenn jeder Punkt wenigstens eine Entfernung h verschoben hat, decken wir die Oberfläche mit einem Netz der Dreiecke des Durchmessers d kleinerer in h zu (wir am Ende sagen werden, wer h und d ist).

Malen wir die Scheitelpunkte von roter, wenn die Koordinate x h /  2 oder mehr verändert hat. Wenn nicht, wir es von Grün malen (die Koordinate und er h /  2 oder mehr verändert hat).

der Weg ist nur anzeigend, er könnte jeder ander sein

Es wird ein Weg der roten Scheitelpunkte oder einer von grüne bleiben (ich ein Dreieck durch eine Säule ersetzt habe, wenn er wenigstens zwei rote Scheitelpunkte hat: Er hat einen Damm, oder es geht das Wasser). Nehmen wir an, dass der Weg rot ist, er egal ist. Er beginnt in in *, und die Koordinate hat x wenigstens h /  2 vermehrt. Er kommt in b *, wo er wenigstens h /  2 verringert hat. Dann, in manchem Augenblick, hat sich eine Zeichenänderung ereignet: In zwei Scheitelpunkten desselben Dreiecks hat 2 wenigstens 2 h /  (übergesprungen die in h größer sind).

Jetzt, brauchen wir Analyse ein bisschen, um zu sagen, wer h und d ist:

Wenn T die Umbildung ist, die das Wasser, und die Regel euclídea von T (x, y schwenkt) - (wird er x, y) nicht annulliert, ist in einem h größer (da sie dauernd ist).

Die Bilder von zwei Punkten des Quadrates werden durch T in der Ferne kleiner sein, als h, wenn sie in der Ferne in einem d' (da T gleichförmig dauernde kleiner waren).

Dann, wenn er d in d kleiner ist', gibt es zwei Scheitelpunkte desselben Dreiecks, wo die Funktion mehr von h springt. Lächerlicher!

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Diese drei große Lehrsätze sind zwischen sich gleichwertig. Er ist nicht schwer, manche mehr oder weniger allgemeine Version zu beweisen, wenn erst einmal einer die Idee hat.

Sagen wir auf ihnen, dass der erste es in Jordan identifiziert. Gauss hat es einige Dekaden früher benutzt, ohne zu beweisen, es "für" 'axiomatisch' haltend.

Brouwer, wies die 'traditionelle' Mathematik intuicionista, ab, aber sein Lehrsatz des festen Punkts hat bewiesen, von großer Nützlichkeit in der klassischen Mathematik zu sein. Eine Anwendung, die er gemacht hat, hat darin bestanden, diesen von Jordan in Rn zu verallgemeinern, Kurven durch Hyperoberflächen tauschend. Es scheint, dass Poincaré es intuitiv erkannt hat: Seine Idee war, dass mancher Granit, wenn man Zucker in einer Tasse Kaffee warf und er umgedreht wurde, in der Oberfläche Ort nicht wechselte (sein Lehrsatz ergódico eine von den so vielen Verzweigungen dieser so einfachen Idee ist).

Der Hex wurde von Nash erfunden (wenige Jahre früher Piet Hein es erfunden hatte). Die Beziehung dieses Spiels ist mit dem Lehrsatz von Jordan axiomatisch, es ist nicht schwer, die Gleichwertigkeit zu erproben. Mit Brouwer ist er schwerer, aber geht aus: Das Vorhandensein des Gleichgewichts von Nash ist direkte Folge dieses Lehrsatzes (und er einen Nobelpreis gekostet hat). Für andere Verwicklung muss man nur das überprüfen, was wir oben gemacht haben, eine Idee von David Gale.

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Die Idee, die sie verbindet, ist, dass das Wasser keine Form hat, aber entdeckt uns die lokale Form, die er besetzt. Dienen Sie von Moral, oder besser, dass er von Grundlage für die Vorführung manchen anderen Lehrsatzes dient.

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(spezieller für den Mathematischen, organisierten Karneval dieses Mal durch Tito Eliatron)

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